Malte reflekterar

Läser just nu A Very Short Introduction: Mathematics av Timothy Gowers. Det är Oxford University Press som ger ut böcker i denna serie, och det finns många att välja bland. Hur som helst — på tal om vad Niklas skriver och Peter följer upp på — Gowers skriver om vikten av att tänka abstrakt om man ska kunna förstå matematik på högre nivå. Själv tycker jag det låter lite skrämmande och svårförståeligt. Gowers gör dock ett bra jobb tycker jag, när han med ganska enkla medel ger exempel på det abstrakta tänkandet.

Frågan är hur man ska lära ut detta abstrakt tänkade. Personligen har jag inga svårigheter att följa med i Gowers resonemang, och han belyser och besvarar vid ett flertal tillfällen koncept och frågor som jag av någon anledning inte tänkt över eller aldrig fått något tillfredställande svar på. Och han gör det med, tycker jag, väldigt enkla medel.

Så här går en del av resonemanget kring negativa tal och fraktioner av tal:

A further difficulty with explaining subtraction and division to children is that they are not always possible. For example, you cannot take ten organges away from a bowl of seven, and three children cannot share eleven marbles equally. However, that does not stop adults subtracting 10 from 7 or dividing 11 by 3, obtaining the answers –3 and 11/3 respectively. The question then arises: do the numbers –3 and 11/3 actually exist, and if so what are they?

From the abstract point of view, we can deal with these questions as we dealt with similar questions about zero: by forgetting about them. All we need to know about –3 is that when you add 3 to it you get 0, and all we need to know about 11/3 is that when you multiply it by 3 you get 11. Those are the rules, and, in conjunction with earlier rules, they allow us to do arithmetic in a larger number system. ...

Gowers påtalar genomgående vikten av att på detta vis tänka abstrakt, att glömma talen och tänka på systemet som helhet, på reglerna som definierar talens relation till varandra. Så har jag förstått det i alla fall. Men frågan kvarstår: hur lätt är det att lära ut detta på ett praktiskt vis, istället för att teoritisera om det. Hur skulle man gå tillväga? (jag menar inte att det inte går. Det är en uppriktig fråga). Tyvärr ger Gowers inga svar på detta i sin väldigt korta introduktion, men det är kanske heller inte meningen...